3 Kapılı Monty Hall Problemi

Küçük bir oyun oynayalım. Oyunda 3 tane kapı var ve bunların sadece birisinin arkasında araba, diğer ikisinde ise keçi var. Amacımız arabayı kazanmak. Kapıların ardında ne olduğunu bilen sunucu bizden bir kapı seçmemizi istiyor. Biz kapıyı seçtikten sonra bizim kapımız açılmadan, geriye kalan iki kapıdan birini açıyor ve arkasından keçi çıkıyor. Bu durumda seçtiğiniz kapı ile mi devam edersiniz yoksa kapınızı değiştirir misiniz?

İlk bakışta hemen cevap olarak "kapımı değiştirmem çünkü diğer kapıdan keçi çıktığına göre ilk başta 1/3 olan şansım artık 1/2'ye çıktı" diyebilirsiniz ama biraz daha düşünmenizi tavsiye ederim.

Bu problem ünlü 3 kapılı Monty Hall problemi olarak biliniyor ve gerçeğe uygun bir paradoks (veridical paradox) özelliği taşıyor. Yani doğru bir çözümü olduğu halde sezgilerimizle uyuşmuyor.


Problemin doğru cevabı kapınızı değiştirmeniz gerektiği çünkü kapınızı değiştirerek ilk başta 1/3 olan şansınızı 2/3'e çıkarma fırsatınız var. Bunu şu şekilde açıklayabiliriz: İlk başta arabanın olmadığı yanlış kapıyı seçme ihtimaliniz 2/3'tü. Seçimizi yaptıktan sonra arkasında keçi olan kapı açılıp size seçme şansı verildiğinde geriye iki seçeneğiniz kaldı. Eğer ilk seçtiğiniz kapının arkasında keçi varsa sunucu açtığı kapının arkasından keçiyi gösterdiğinde diğer kapıda araba kalacak. Eğer ilk başta yanlış kapıyı seçip seçimimizi değiştirirseniz arabayı kazanacaksınız. Yani bu durumda kapınızı değiştirerek kazanma olasılığınız ilk başta yanlış kapıyı seçme olasılığına dönüşmüş oldu, ki bu da 2/3'tür.

Bu sonuç gerçekten kafa karıştırıcı ama biraz daha fazla sayıda kapı ile düşündüğümüzde daha açık görünüyor. Kapı sayısını 10 yapalım ve birinin ardına araba, diğer dokuzunun ardına da yine keçi koyalım. Bir kapıyı seçtikten sonra sunucu geriye bir tane kapı kalana kadar 8 tane arkasında keçi olan kapıyı açtı ve size kararınızı değiştirip değiştirmeyeceğinizi sordu. İlk başta arabanın seçtiğiniz kapının ardında olma olasılığı 1/10 iken, keçi olan kapıyı seçme olsılığınız 9/10. Yani ilk başta arkasında araba olan kapıyı seçtiğinizde (1/10 olasılık) kapınızı değiştirmeniz kötü bir fikirken, arkasında keçi olan kapıyı seçtiğinizde (9/10 olasılık) kapınızı değiştirmeniz iyi fikir olacaktır. Bu durumda kapınızı değiştirerek kazanma şansınız 9/10'dur.

Hala aklınıza yatmadıysa aşağıdaki sitede bulunan simulatorle biraz oynayarak kapıyı değiştirdiğinizde veya değiştirmediğinizdeki denemelerin sonuçlarını bir incelemenizi öneririm. Eğer yeteri kadar deneme yaparsanız kapıyı değiştirdiğinizde kazanma oranının 2/3'e, değiştirmediğiniz durumlarda ise 1/3'e yakınsadığını görebilirsiniz.

Let's Make a Deal Applet


Scientific American'da "Skeptic" köşesinin yazarı Michael Shermer, bu problemi Ekim 2008 sayısında dile getirmişti ve Şubat 2009 sayısında ise çözümüne ilişkin bir yazı yayınladı. İlgilenenler inceleyebilir.

3 yorum:

nodrylight dedi ki...

"Yani doğru bir çözümü olduğu halde sezgilerimizle uyuşmuyor." benim sezgilerimde bi sorun var sanırım çünkü çok bariz cevabın kapıyı değiştirmek olduğu yahu.. Siz 10 kapı örneğiyle güzel anlatmışsınız sorunun mantığını, ben açıklarken daha da abartıp 1 milyar kapı olduğunu farzedin diyorum insanlara.. Halen daha ikna olmamakta ısrar eden insanlar oluyo gerçi..

Arif Bayırlı dedi ki...

Aslında "sezgilerle uyuşmuyor" demek, altında yatan olasılık teorisine biraz haksızlık olabilir :) "İlk bakışta kavranması güç olabilir" demek daha uygun gibi..

Adsız dedi ki...

Ali Nesin de "Matematik ve Oyun" isimli kitabının "Dünyanın En Zeki İnsanı Matematikçilere Karşı" adlı bölümünde bu probleme değiniyor. Bir muhabbet esnasında bir arkadaşım, çözüme ikna olmayıp "sonuç olarak olasılık 1/2" diyen başka bir arkadaş için şu benzetmeyi yapmıştı:
- Bir zar atıldığında 6 gelme olasılığı nedir?
- 1/6 'dır elbet.
- Olur mu? Ya 6 gelir ya gelmez, 1/2 'dir
gibi son derece hoş bir örnek vermişti.
Aslında belki de bu insanların matematiği ne kadar ezbere dönüştürdüklerinin açık bir örneği bence.

Ufuk Sevim

Yorum Gönder