Matematiğin "Nobel Ödülü" verildi

2003 yılından beri Norveç Bilimler Akademisi tarafından verilen ve Matematik Dünyasında Nobel Ödülü niteliği taşıdığı düşünülen Abel Matematik Ödülü, bu yıl Rus matematikçi Mikhail Gromov'a verildi. Yapılan resmi açıklamada belirtildiği şekilde Gromov ödüle "Geometri alanına yaptığı devrimsel katıkılarından" dolayı layık görüldü. Gramov'un metrik uzaylar ve Riemann geometrisi gibi konulardaki bir çok yeni yaklaşımı sadece matematik alanında değil, teorik fizik alanına(özellikle sicim kuramı) da katkı sağlamış bulunuyor. Gromov'un metrik uzaylar konusundaki yaklaşımını(ve ödülle ilişkili diğer çalışmalarını) kolay anlaşılabilir, popüler bir dille açıklayan Plus dergisindeki makaleyi okumanızı tavsiye ederim :

Going the Distance - Plus Magazine

Abel Komitesi'nin ödülle ilgili yaptığı açıklamaya aşağıdaki bağlantıdan erişebilirsiniz.

2009 Abel Prize Leaureate

Asal Sayıların Müziği

2009 Yılı bilim adına önemli bir yıl: Galileo'nun teleskobunu ilk kez gökyüzüne çevirmesinin 400. yılı (Dünya Astronomi Yılı), Darwin'in Türlerin Kökeni kitabını yayınlayışının ise 150. yılı. Fakat bununla bitmiyor. Geçen günler yeni izlemeye başladığım ve neden bu kadar geç kaldığıma sürekli söylendiğim Numb3rs dizisinin bir bölümünde bir matematik probleminden bahsediyorlardı. Hem de milyon dolarlık bir problem : Reimann Hipotezi. Peki bunun 2009 ile ilgisi nedir? 2009 bu problemin ortaya atılışının 150. yılı fakat hala bir çözüm getirebilmiş olan yok...

Reimann Hipotezi asal sayıların dağılımıyla ilgili bir teorem. Asal sayılar bildiğiniz gibi sadece kendisi ve bir ile bölünen, başka bir sayı ile bölünemeyen temel sayılardan oluşur : "2,3,5,7,11,..." diye devam ediyor. Asal sayılar matematikte en ilgi gören sayılar olmuştur çünkü her yerde bir şablon, model görmeye alışık olan matematikçiler asal sayılarda buna yaklaşamıyorlar bile. Sayıların dağılımının bir kurala bağlı olmadan sonsuza kadar sürdüğü biliniyor(Bknz: Öklid Teoeremi)

Gauss ve Riemann ise probleme farklı bir bakış açısı getirip herhangi bir aralıkta kaç tane asal sayı bulunduğunun belirli bir şablonu olup olmadığını sordular ve ortaya dalga mekaniğinde rastladığımız harmoniklere benzer sayı harmonikleri ortaya çıktı. Riemanann Teorisinde :

Bilindiği gibi asal sayılar düzenli bir dağılıma sahip değiller. Alman matematikçi G.F.B. Riemann (1826 - 1866) asal sayıların dağılımlarının Riemann-Zeta adını verdiği bir fonksiyon ile çok yakından ilişkili olduğunu gözlemledi. Söz konusu olan fonksiyon şöyle:

bu fonksiyon s'nin 1 dışındaki her kompleks sayı değeri için tanımlıdır.

Riemann Hipotezine göre bu fonksiyonun, (s) = 0 ifadesini sağlayan tüm önemsiz olmayan s değerleri, reel kısmı ½ olan düşey doğru üzerine düşer (bu doğruya kritik doğru deniyor). İlk 1 500 000 000 değer için bu doğruluk tespit edilmiş olsa da asıl istenen, söz konusu tüm değerler için doğru olduğunun ispatlanması.

Konuyla ilgili Marcus du Suttoy'un problemin çözümü için 1 milyon dolar ortaya koyan Clay Matematik Enstitusu'nde yaptığı "Asal sayıların müziği" adlı sunumu gerçekten çok eğlenceli ve bilgilendirici, izlemenizi tavsiye ederim :

Music of Primes - Marcus du Suttoy

İzlemekten ziyade okumayı tercih ederim diyenler için sunumun makale hali Plus dergisinde yayınlandı. Aşağıdaki bağlantılardan inceleyebilirsiniz :

The Music of Primes - Plus Magazine
The Prime Number Lottery - Plus Magazine

Böyle bir konunun televizyon dizisinde ne işi var diye sorarsanız... Numb3rs FBI bürosu ve bir matematikçinin ortak olarak bir çok davayı çözmesini konu alan bir dizi. Dizide her bölüm matematik ve fiziğin en modern konuları işleniyor ve gayet anlaşılabilir bir dille ifade ediliyor. İlk sezonun beşinci bölümünde ise Riemann hipotezinin çözümüne yaklaşmış bir matematikçi çözüm karşılığında şantaja uğruyor. Bu çözümü bu kadar değerli kılan ne diye sorarsanız, şu anda internet güvenliğimizin (şifrelemenin) tamamı asal sayılar üzerinden yapılıyor; bir çok dolandırıcının bu şifreleri kırmak için büyük asal sayıları tahmin edebilecek bir teoreme ihtiyaç duyabileceği ortada. Dizinin de vurguladığı gibi matematik ve bilim aslında hayatın içinde...

Dizide bazen açıklamak gereken durumlar olduğunda 4. sezondan itibaren diziyle birlikte bir matematik rehberi yayınlanmaya başlandı, oradan meraklılara detaylar sunuluyor:

Math behind Numb3rs - Wolfram Research

Dizinin bir kaç bölümü internette var. Matematik meraklılarına şiddetle tavsiye edilir :

CBS - Numb3rs Episodes

3 Kapılı Monty Hall Problemi

Küçük bir oyun oynayalım. Oyunda 3 tane kapı var ve bunların sadece birisinin arkasında araba, diğer ikisinde ise keçi var. Amacımız arabayı kazanmak. Kapıların ardında ne olduğunu bilen sunucu bizden bir kapı seçmemizi istiyor. Biz kapıyı seçtikten sonra bizim kapımız açılmadan, geriye kalan iki kapıdan birini açıyor ve arkasından keçi çıkıyor. Bu durumda seçtiğiniz kapı ile mi devam edersiniz yoksa kapınızı değiştirir misiniz?

İlk bakışta hemen cevap olarak "kapımı değiştirmem çünkü diğer kapıdan keçi çıktığına göre ilk başta 1/3 olan şansım artık 1/2'ye çıktı" diyebilirsiniz ama biraz daha düşünmenizi tavsiye ederim.

Bu problem ünlü 3 kapılı Monty Hall problemi olarak biliniyor ve gerçeğe uygun bir paradoks (veridical paradox) özelliği taşıyor. Yani doğru bir çözümü olduğu halde sezgilerimizle uyuşmuyor.

Problemin doğru cevabı kapınızı değiştirmeniz gerektiği çünkü kapınızı değiştirerek ilk başta 1/3 olan şansınızı 2/3'e çıkarma fırsatınız var. Bunu şu şekilde açıklayabiliriz: İlk başta arabanın olmadığı yanlış kapıyı seçme ihtimaliniz 2/3'tü. Seçimizi yaptıktan sonra arkasında keçi olan kapı açılıp size seçme şansı verildiğinde geriye iki seçeneğiniz kaldı. Eğer ilk seçtiğiniz kapının arkasında keçi varsa sunucu açtığı kapının arkasından keçiyi gösterdiğinde diğer kapıda araba kalacak. Eğer ilk başta yanlış kapıyı seçip seçimimizi değiştirirseniz arabayı kazanacaksınız. Yani bu durumda kapınızı değiştirerek kazanma olasılığınız ilk başta yanlış kapıyı seçme olasılığına dönüşmüş oldu, ki bu da 2/3'tür.

Bu sonuç gerçekten kafa karıştırıcı ama biraz daha fazla sayıda kapı ile düşündüğümüzde daha açık görünüyor. Kapı sayısını 10 yapalım ve birinin ardına araba, diğer dokuzunun ardına da yine keçi koyalım. Bir kapıyı seçtikten sonra sunucu geriye bir tane kapı kalana kadar 8 tane arkasında keçi olan kapıyı açtı ve size kararınızı değiştirip değiştirmeyeceğinizi sordu. İlk başta arabanın seçtiğiniz kapının ardında olma olasılığı 1/10 iken, keçi olan kapıyı seçme olsılığınız 9/10. Yani ilk başta arkasında araba olan kapıyı seçtiğinizde (1/10 olasılık) kapınızı değiştirmeniz kötü bir fikirken, arkasında keçi olan kapıyı seçtiğinizde (9/10 olasılık) kapınızı değiştirmeniz iyi fikir olacaktır. Bu durumda kapınızı değiştirerek kazanma şansınız 9/10'dur.

Hala aklınıza yatmadıysa aşağıdaki sitede bulunan simulatorle biraz oynayarak kapıyı değiştirdiğinizde veya değiştirmediğinizdeki denemelerin sonuçlarını bir incelemenizi öneririm. Eğer yeteri kadar deneme yaparsanız kapıyı değiştirdiğinizde kazanma oranının 2/3'e, değiştirmediğiniz durumlarda ise 1/3'e yakınsadığını görebilirsiniz.

Let's Make a Deal Applet

Scientific American'da "Skeptic" köşesinin yazarı Michael Shermer, bu problemi Ekim 2008 sayısında dile getirmişti ve Şubat 2009 sayısında ise çözümüne ilişkin bir yazı yayınladı. İlgilenenler inceleyebilir.